周期函数公式大全推导

生活百科 2023-08-20 01:32:01

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周期函数公式大全推导

函数的周期公式及其推导

F(x+a)=-f(x)的周期为2a。

证明过程

因为f(x+a)=-f(x)且f(x)=-f(x-a)，f(x+a)=f(x-a)，即f(x+2a)=f(x)，所以周期为2a。

公式和推导

f(x+a)=-f(x)

则f(x+2a)= f[(x+a)+a]=-f(x+a)=-[-f(x)]= f(x)

所以f(x)是周期为2a的周期函数。

f(x+a)=1/f(x)

那么f(x+2a)= f[(x+a)+a]= 1/f(x+a)= 1/[1/f(x)]= f(x)。

所以f(x)是周期为2a的周期函数。

f(x+a)=-1/f(x)

则f(x+2a)= f[(x+a)+a]=-1/f(x+a)= 1/[-1/f(x)]= f(x)

所以f(x)是周期为2a的周期函数。

所以我们得到了这三个结论。

函数的周期性

设函数f(x)定义在区间X上，若存在一个与X无关的正数T，对任意x∈X，总有f(x+T)=f(x)。

那么f(x)称为周期为t的周期函数，满足上式的最小正数t称为函数f(x)的周期。

周期函数的运算性质

①如果T是f(x)的周期，那么f(ax+b)的周期就是T/al。

②如果F (x)和G (x)都是周期为t的函数，那么f(X)+g(X)也是周期为t的函数..

③若f (x)和g (x)分别是周期为t1，t2，t1 ≠ t2的函数，则f(x)+g(x)是周期为T1和T2的最小公倍数的函数。

周期公式

sinx的函数周期公式为T=2π，sinx是周期为2π的正弦函数。

cosx的函数周期公式是T=2π，cosx是周期为2π的余弦函数。

tanx和cotx的函数周期公式为T=π，tanx和cotx分别为正切和余切。

secx和cscx的函数周期公式为T=2π，secx和cscx正割余切。

三角函数和周期公式的推导

以∠A为例使α = ∠ A。

①正弦函数:对边大于斜边，即sin α = a/c。

②余弦函数:邻边大于斜边，即cos α = b/c。

③正切函数:对边离邻边更近，即tan α = a/b。

④余切函数:斜边比边，即CSC α = c/a。

⑤割线函数:斜边更靠近邻边，即secα = c/b。

⑥余切函数:相邻边比较边，即COT α = b/a。

所以我们可以推导出下面的公式

cos(-α)= cos α

cos(2kπ+α)= cos α

cos(π+α)= -cos α

cos(π-α)= -cos α